2020廣東公務(wù)員考試行測利用“均值不等式”求極值

　　在行測數量關(guān)系中常見(jiàn)的極值問(wèn)題里，有一類(lèi)是一元二次函數求最值，相信大家都是能夠根據題意列出式子，難點(diǎn)就在于解這個(gè)式子，常規的就是采用高中所學(xué)的求根公式來(lái)進(jìn)行解答，這個(gè)過(guò)程就會(huì )顯得慢而且計算量偏大，所以今天考試吧公務(wù)員考試網(wǎng)就給大家介紹運用均值不等式來(lái)進(jìn)行求解。

　　一、 什么是極值問(wèn)題

　　極值問(wèn)題顧名思義，就是求極大值和極小值的問(wèn)題，就是當題干或者問(wèn)法中出現最大或最小，最多或最少，至多或至少等字眼時(shí)，那就是極值問(wèn)題。

　　二、 均值不等式

　　1. 什么是均值不等式　　

　　2. 均值不等式的應用　　

　　三、 經(jīng)典例題

　　【例題1】 某汽車(chē)坐墊加工廠(chǎng)生產(chǎn)一種汽車(chē)座墊，每套成本是144元，售價(jià)是200元。一個(gè)經(jīng)銷(xiāo)商訂購了120套這種汽車(chē)座墊，并提出：如果每套座墊的售價(jià)每降低2元，就多訂購6套。按經(jīng)銷(xiāo)商的要求，該加工廠(chǎng)獲得最大利潤需售出的套數是(　　)。

　　A.144 B.136 C.128 D.142

　　【解析】A。根據題目所求為獲得最大利潤需售出的套數，可知此題屬于極值問(wèn)題，根據題意，可設每套坐墊減價(jià)2x元，那么就會(huì )多訂購6x套，利潤為y，得：

　　y =(200-2x-144)x(120+6x)，化簡(jiǎn)得：y =(56-2x)x(120+6x)，要求y最大時(shí)的x，可以把(56-2x)看成一個(gè)整體a，(120+6x)看成一個(gè)整體b，就相當于求ab的最大值，根據均值不等式推論可知，當兩個(gè)數的和一定，這兩個(gè)數的積最大，所以去找到(56-2x)與(120+6x)的和一定即可，因為x的系數不同，所以要將x的系數化為相同兩者之間的和才一定，所以可將(56-2x)提一個(gè)2，(120+6x)提一個(gè)6出來(lái)，讓x的系數都為1，所以y =(56-2x)x(120+6x)=2 x(28-x)x 6 x(20+x)，既原式變?yōu)閥=12(28-x)(20+x),根據均值不等式和一定積最大，當且僅當(28-x)=(20+x)取等號，所以28-x=20+x得出x=4，既當坐墊降價(jià)8元時(shí)，能獲得最大利潤，所求獲得最大利潤售出套數為120+6x4=144，選A。

　　【例題2】某報刊以每本2元價(jià)格發(fā)行,可發(fā)行10萬(wàn)份,若該報刊單價(jià)提高0.2元,發(fā)行量減少5000份,則該報刊可能的最大銷(xiāo)售收入為多少萬(wàn)元?

　　A.24 B.23.5 C.23 D.22.5

　　【解析】D。題目求報刊的最大銷(xiāo)售收入屬于極值問(wèn)題，設報刊單價(jià)提高了0.2x，那么發(fā)行量為10000-5000x，銷(xiāo)售收入為y，根據題意得：y=(2+0.2x)(10000-5000x)，化簡(jiǎn)原式得y=0.2x(10+x)x5000x(20-x)=1000x(10+x)(20-x)，根據均值不等式，當且僅當10+x=20-x時(shí)取等號，所以x=5，帶入式子的y=1000x15x15=225000元=22.5萬(wàn)元，選D。

　　【例題3】某汽車(chē)租賃公司有200輛同型號的汽車(chē)，每輛車(chē)的日租金為100元時(shí)可全部租出;當每輛車(chē)的日租金增加5元時(shí)，未租出的汽車(chē)就會(huì )多4輛，租出的車(chē)每天需要維護費20元。每輛車(chē)的日租金為多少時(shí)，租賃公司的日收益最大?

　　A.155元 B.165元 C.175元 D.185元

　　【解析】D。題目所求為日租金為多少是，日收益最大，屬于極值問(wèn)題。設日租金增加5x元，那么未租出的汽車(chē)多4x輛，日收益為y，根據題意可得：

　　y=(100+5x)(200-4x)-20(200-4x)=(80+5x)(200-4x)，化簡(jiǎn)得y=20(16+x)(50-x)，根據均值不等式，當且僅當16+x=50-x時(shí)，取等號，所以x=17，既當x=17時(shí)，日收益最大，也就是當日租金為100+5x17=185時(shí)，日收益最大，選D。

　　考試吧公務(wù)員考試網(wǎng)提醒大家，利用均值不等式解極值問(wèn)題時(shí)，首先要判斷是否屬于極值問(wèn)題，然后根據題目列式，觀(guān)察式子是否一元二次函數，若是最后采用均值不等式進(jìn)行求解x或者進(jìn)一步求解y，常用到均值不等式的和一定、積最大來(lái)進(jìn)行求解。

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