2011年中招考試：《初中數學(xué)》競賽講座(34)

一次方程與一次不等式

　　1.一次方程(組)

　　一次方程(組)是最簡(jiǎn)單的方程，是進(jìn)一步研究函數、方程、不等式等的基礎，先看一個(gè)含字母系數的一元一次方程的討論.

　　例1(第36屆美國中學(xué)數學(xué)競賽題)設a，a'b，b'是實(shí)數，且a和a'不為零，當且僅當( )時(shí)，ax+b=0的解小于a'x+b'=0的解.

　　(A)a'b

　　(D) (E) 解 ∵a≠0,∴ax+b=0的解是 ，

　　∵a'≠0,∴a'x+b'=0的解是 ，

　　根據題意得 .

　　故應選(E).

　　例2 (第4屆美國數學(xué)邀請賽試題)若x1,x2,x3,x4和x5滿(mǎn)足下列方程組：

　�、�

　�、冖邰堍�

　　確定3x4+2x5的值.

　　解 將已知的五個(gè)方程加起來(lái)，然后，把所得方程的兩邊除以6得

　　x1+x2+x3+x4+x5=31, (*)

　　由第4、第5個(gè)方程分別減去方程(*)，得

　　x4=17, x5=65,

　　∴ 3x4+2x5=181

　　說(shuō)明，上面解答所提供的用31代換x1+x2+x3+x4+x5的整體代換方法是一種重要的解題策略.

　　例3(1982年天津初中數學(xué)競賽題)已知關(guān)于x，y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0，當a每取一個(gè)值時(shí)就有一個(gè)方程，而這些方程有一個(gè)公共解，你能求出這個(gè)公共解，并證明對任何a值它都能使方程成立嗎?

　　分析 依題意，即要證明存在一組與a無(wú)關(guān)的x，y的值，使等式(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0恒成立，令a取兩個(gè)特殊值(如a=1或a=-2)，可得兩個(gè)方程，解由這兩個(gè)方程構成的方程組得到一組解，再代入原方程驗證，如滿(mǎn)足方程則命題獲證，

　　我們也可以這樣想：將原方程整理成為形如

　　a(x+y-2)+(-x+2y+5)=0

　　將原方程轉化為關(guān)于字母a的一元一次方程，由題知該方程對a取任意值成立必須且只須

　　x+y-2=0,同時(shí)-x+2y+5=0.

　　聯(lián)立以上兩方程易得原方程的解.

　　以上所提出的兩種解法將在本書(shū)的其它部分有更詳細的講述.

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