1. 市面或網(wǎng)上的考研數學(xué)復習資料很多：考綱、各類(lèi)文章、真題、各階段的模擬題，那么考研數學(xué)復習的基本依據是什么?

　　基本依據是考綱和歷年真題�？荚嚧缶V是命題依據，考生可以通過(guò)考綱獲得考研的最基本也是最權威的信息，如考試范圍和考試要求。而歷年真題在所有試題中含金量最高，可以通過(guò)對真題的分析獲得多方面的信息，如試題難度，核心考點(diǎn)等。

　　2. 能否簡(jiǎn)單概括考研數學(xué)的要求?

　　劉老師：我們依據什么來(lái)回答這個(gè)問(wèn)題呢?我認為是對考綱和真題的分析。從考綱看，考研數學(xué)對考生有掌握程度的要求，分為“了解”、“理解”和“掌握”;從考研真題看，考研數學(xué)的要求如果用三個(gè)關(guān)鍵字概括，即：“基礎”、“方法”和“熟練”。

　　3. “基礎”、“方法”和“熟練”具體指什么?

　　考生可任選一道考研真題，該題可能有一定難度和綜合性，但其分解之后的考點(diǎn)都在考綱規定的考點(diǎn)范圍內，說(shuō)明考研數學(xué)重基礎。

　　那么打牢基礎是否能輕松應對考試呢?不夠，還需要在此基礎上總結方法。比如中值定理相關(guān)的證明題是令不少考生頭痛的一類(lèi)題�？忌�把基礎內容(閉區間上連續函數的性質(zhì)、費馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理)掌握好后(定理內容能完整表述，定理本身會(huì )證)，直接做真題，很可能沒(méi)什么思路，不知道朝哪個(gè)方向想。

　　知識從理解到應用有一個(gè)過(guò)程：理解了不代表會(huì )用，應用還有個(gè)方向問(wèn)題——在哪方面應用呢?這時(shí)真題的價(jià)值就顯現出來(lái)了：真題是很好的素材，通過(guò)對歷年真題的分析總結，可以對真題的具體應用有直觀(guān)認識，對真題的命題思路有全面認識。換句話(huà)說(shuō)，通過(guò)對真題“歸納題型，總結方法”可以讓考生知道哪道題目往哪個(gè)方向想。以中值定理相關(guān)的證明這類(lèi)題型為例，如果總結到位了，就能達到如下效果：拿到一道此類(lèi)型的題目，一般可以從條件出發(fā)進(jìn)行思考，看要證的式子是含一個(gè)中值還是兩個(gè)。若是一個(gè)，再看含不含導數，若含導數，優(yōu)先考慮羅爾定理，否則考慮閉區間上連續函數的性質(zhì)(主要是兩個(gè)定理——介值定理和零點(diǎn)存在定理);若待證的式子含兩個(gè)中值，則考慮拉格朗日定理和柯西定理。

　　4. 后面的時(shí)間如何安排，如何規劃?

　　一般來(lái)說(shuō)，一個(gè)完整的考研復習周期為近一年的時(shí)間——從3月到12月，可以劃分為“考研四季”：考研之春(3-6月)，考研之夏(7-8月)，考研之秋(9-10月)和考研之冬(11-12月)。前三季對應考研數學(xué)的三個(gè)要求——“基礎”、“方法”和“熟練”，第四季的任務(wù)是模擬演練，查漏補缺。

　　以上是大的規律性的東西。每位考生可以根據自身的情況制定自己的復習計劃。

　　5. “基礎”、“方法”我相對完整地過(guò)了一遍，那接下來(lái)怎么達到“熟練”呢?

　　考生可能對考研沒(méi)有透徹的理解，但一定對高考有較全面的把握。而考研數學(xué)和高考數學(xué)有不少相似之處，那么大家如何達到高考數學(xué)的“熟練”的要求呢?多做題是有效的途徑。做什么題?真題和模擬題。優(yōu)先選真題，市面上有十幾年的真題解析，網(wǎng)上也有一些資料。此外，假設考生考數學(xué)三，那么不光做數三的歷年真題，數一數二，只要在數三的考試范圍內的真題，也要做。最后，想要達到“熟練”，分享一句賣(mài)油翁的話(huà)，“無(wú)他，唯手熟爾”。

　　6. 剛做了兩套測試卷，感覺(jué)不理想，“基礎”、“方法”我好像都沒(méi)掌握好，受打擊呀。

　　李開(kāi)復說(shuō)過(guò)“挫折不是懲罰，而是成長(cháng)的契機”。測試成績(jì)不理想，感覺(jué)受打擊也是人之常情。但更積極的態(tài)度是將其看成完善、提升的機會(huì )。暴露出問(wèn)題不可怕，甚至是必要的。我們還有相對充足的時(shí)間，完全可以有大幅度的提升。

　　你這種情況也不少。那既然發(fā)現了自己基礎不牢，方法也未完全掌握，那怎么做其實(shí)自己也明白了。數學(xué)是很“誠實(shí)”的學(xué)科，有的文科自己沒(méi)有什么思路，還可以寫(xiě)點(diǎn)自己的認識，但數學(xué)沒(méi)有思路，真的寫(xiě)不出什么來(lái)。所以從頭做起，扎扎實(shí)實(shí)是必不可少的。當然，也不要忘記“考研之秋”的任務(wù)。

　　7. 我基礎還可以，下個(gè)階段有沒(méi)有詳細些的建議?只一個(gè)“熟練”就夠了?

　　對于基礎不錯，有志于考高分的考生，下個(gè)階段的復習可以在以下三個(gè)方面下功夫：適當拓展難度，提升熟練度，提升準確度。

　　要想在考場(chǎng)上游刃有余，只做與真題難度相當的題目是不夠的。適當做點(diǎn)難度超過(guò)真題的模擬題，可以使考生再面對真題時(shí)感覺(jué)“簡(jiǎn)單”。也有考生問(wèn)能否推薦模擬卷。大家可以上網(wǎng)上查查銷(xiāo)量最好的模擬卷，得到市場(chǎng)認可的資料質(zhì)量不會(huì )錯。

　　8. 有時(shí)復習狀態(tài)不好，有什么好的建議?

　　經(jīng)驗性的文章網(wǎng)上有很多，這里不贅述了。

　　9. 復習全書(shū)要不要過(guò)一遍呢?很糾結。

　　有不少質(zhì)量不錯的數學(xué)資料，考生不知如何取舍。我的看法是這樣：可以按照權威性給資料排個(gè)序，以高數資料為例：《同濟六版教材》《復習全書(shū)》各類(lèi)模擬卷。這樣可以按照資料的權威性來(lái)選擇復習資料，過(guò)完教材過(guò)復習全書(shū)。

　　書(shū)不在多，而在精。真正的高手未必用了很多資料，但很可能是把權威性的資料用得很精。比如教材，包含了考綱要求的基礎知識，來(lái)龍去脈寫(xiě)得很詳細，而且一些方法也蘊含在題目中，但需要挖掘整理。所以能把教材用精了的考生水平一定不低。再比如，《復習全書(shū)》經(jīng)過(guò)了時(shí)間檢驗，質(zhì)量不錯。怎么用精?過(guò)一遍肯定不行，得過(guò)兩、三遍。另外，題目最好自己動(dòng)手做，而不是僅僅看。走筆至此，劉禹錫的《陋室銘》中的句子就在嘴邊：山不在高，有仙則靈;水不在深，有龍則靈……

　　10. 我是工作之后再回來(lái)考研的，前面沒(méi)有系統地復習，現在做題很吃力，要不要從基礎的開(kāi)始看呢?

　　建議打牢基礎�！盎�礎不牢，地動(dòng)山搖”。

　　11. 碰到一道題，想了十多分鐘想不出來(lái)，怎么辦?

　　不能一概而論，要視題和自己兩方面的情況而定。

　　從題的角度，可以看題的難度和重要程度。如果題目本身確實(shí)比較難，而自己目前基礎較薄弱，可以先放一放，等后面功底深厚了，再來(lái)個(gè)“回馬槍”;如果題目本身屬于核心考點(diǎn)，那確實(shí)應該多花一些時(shí)間，兩個(gè)、三個(gè)十分鐘也值得。其他情況，考生可作相應處理。

　　從自身的情況看，可以看基礎和時(shí)間。如果自己基礎較薄弱，那挑戰難題就不大明智;如果時(shí)間充裕，多思考下難題倒是無(wú)妨，但如果時(shí)間緊，而還有比較基礎的考點(diǎn)沒(méi)搞定，那還是把難題放一放好。

　　以上策略適用于備考，也適用于考場(chǎng)答題�？紙�(chǎng)上碰到一時(shí)想不出來(lái)的題目是正常的，建議先放一放，把能搞定的題目做完，再回過(guò)頭來(lái)琢磨這道題。這樣做的好處是：萬(wàn)一這道題做不出來(lái)，因為已經(jīng)搞定大部分基礎題，所以仍能得到一個(gè)可接受的分數;做出來(lái)，當然是錦上添花了。另外，搞定大部分基礎題后，考生心理會(huì )“有底”，而在放松的狀態(tài)下是有利于做出較難的題目的。

　　有的同學(xué)做不出某道題，不愿意往下走，做下面的題會(huì )不舒服。我想提醒這類(lèi)同學(xué)：我們畢竟是在考試，而不是做學(xué)問(wèn)�？荚嚨哪康氖窃谙薅ǖ臅r(shí)間內發(fā)揮出最佳水平，取得盡可能高的分數。所以考試是個(gè)“條件最值”問(wèn)題，我們無(wú)法取到“無(wú)條件最值”那種理想解。而做學(xué)問(wèn)應該花時(shí)間搞定每個(gè)點(diǎn)�？荚囀莿�(wù)實(shí)的，而做學(xué)問(wèn)則帶有理想主義色彩。

　　12. 我是“二戰”考生，老是心里沒(méi)底怎么辦?

　　為什么會(huì )心里沒(méi)底?是擔心遺漏考點(diǎn)，還是擔心會(huì )的題做錯，還是怕搞不定新題?

　　如果擔心遺漏考點(diǎn)，那么梳理體系是個(gè)不錯的方法。找若干張空白的紙，可以按照章節，可以按照模塊，系統梳理該部分的知識點(diǎn)、方法和題型。一趟梳理過(guò)后，自己心里會(huì )“有底”一些：考試要求有哪些，自己掌握了哪些，哪些掌握得不牢固。

　　如果擔心會(huì )的題做錯，那得分析做錯的原因。一般來(lái)說(shuō)可以通過(guò)多練來(lái)解決。也不排除是心理作用。其實(shí)不只是考試，處理工作以及生活中的問(wèn)題都需要自信。自信的人能充分甚至超水平發(fā)揮自己的水平。自信源自何處?充分準備和多練。 所謂“盡人事而待天命”，“改變能改變的事，接受不能改變的事，用智慧分辨二者的不同”以及“積極進(jìn)取，隨意而安”，道理都是相通的。我們把自己能做的事做好，就可以把心放下了。

　　13. 概率中的矩估計和極大似然估計�？即箢}，這部分不大理解，但按照步驟也能做對，要不要花精力理解呢?

　　這就像練武，內功沒(méi)有長(cháng)進(jìn)，也沒(méi)有融會(huì )貫通，但是記住了招式，這樣行嗎?也未必不行。因為招式也是武功的一部分，遇見(jiàn)水平較低的對手，按照招式走也常常有效。但這是多數習武者追求的嗎?

　　答案顯而易見(jiàn)。對于備考而言，“理解”、“融會(huì )貫通”能提升考生的內功，而排除偶然因素后，內功深厚是考高分的必要條件。

　　14. 線(xiàn)性代數向量那部分的定理比較抽象，一定要會(huì )證明嗎?

　　向量部分有兩大部分內容需要重點(diǎn)把握：一部分是向量的兩個(gè)核心概念“線(xiàn)性相關(guān)”和“線(xiàn)性表出”與線(xiàn)性方程組的關(guān)系;另一部分是向量自身有一些定理，需要把握。

　　前一部分對處理數值型向量組的“線(xiàn)性相關(guān)”和“線(xiàn)性表出”問(wèn)題很有效——處理“線(xiàn)性相關(guān)”問(wèn)題轉化為齊次線(xiàn)性方程組有非零解的問(wèn)題;處理“線(xiàn)性表出”問(wèn)題轉化為非齊次線(xiàn)性方程組的解的存在性問(wèn)題。

　　后一部分對考生的邏輯思維能力要求較高。定理內容要熟悉，大部分的定理要會(huì )證明。如“n(n>=2)個(gè)向量構成的向量組線(xiàn)性相關(guān)的充要條件是存在一個(gè)向量能由其余向量線(xiàn)性表出”，該定理有助于理解“線(xiàn)性相關(guān)”這個(gè)概念的含義，另外該定理的證明過(guò)程中包含著(zhù)證明一個(gè)向量由一個(gè)向量組線(xiàn)性表出的思路：找一個(gè)包含這個(gè)向量和向量組的等式，說(shuō)明該向量的系數不為0即可。

　　15. 線(xiàn)代既靈活又抽象，怎么把握呢?

　　我問(wèn)過(guò)不少考生這個(gè)問(wèn)題：線(xiàn)性代數的知識結構是樹(shù)形結構還是網(wǎng)狀結構?不少同學(xué)回答網(wǎng)狀結構�？忌�首先應該把考綱規定的每個(gè)考點(diǎn)掌握好，接下來(lái)完成“歸納題型，總結方法”的任務(wù)(可以自己把參考資料總結的方法消化吸收，也可以把老師講的方法消化吸收)，接下來(lái)就是形成體系和強化重難點(diǎn)了。

　　如何形成體系呢?用核心的概念把相關(guān)的知識串起來(lái)是個(gè)不錯的方法。比如n階矩陣A可逆有多少等價(jià)條件?從行列式的角度是A的行列式不等于0，從向量的角度是A的列向量組或行向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)，從線(xiàn)性方程組的角度是Ax=0僅有零解或Ax=b有唯一解，從秩的角度是r(A)=n，從特征值的角度是A的特征值不含0，從二次型的角度是A的轉置乘A正定。

　　還有，要有尋根究底的精神。比如，我們討論下秩這個(gè)讓考生百感交集的概念。首先要搞清楚秩是什么?線(xiàn)性代數中有兩個(gè)秩：一個(gè)矩陣的秩，一個(gè)向量組的秩。矩陣的秩是矩陣非零子式的最高階數。一個(gè)矩陣的秩為k意味著(zhù)什么?要會(huì )“翻譯”�！爸苯臃�譯”的結論是矩陣非零子式的最高階數為k。只會(huì )“直接翻譯”還不足以應對考題，還得會(huì )“間接翻譯”：該矩陣存在k階非零子式，并且該矩陣不存在k+1階非零子式。再進(jìn)一步思考：前半句話(huà)用秩的語(yǔ)言怎么描述?應為r(A)>=k;后半句話(huà)用秩的語(yǔ)言怎么描述?應為r(A)<=k。再思考：該矩陣不存在k+1階非零子式包含幾種情況?應有兩種情況：1)矩陣存在k+1階子式，但k+1階子式全為0;2)矩陣不存在k+1階子式(如矩陣是k階方陣)。這樣關(guān)于矩陣的秩的概念才理解到位了，但還需多做題才能達到熟練。< p="">

　　類(lèi)似地，我們可以對“向量組的秩”這個(gè)概念做層層剖析。首先，向量組的秩是向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數。什么是極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組?顧名思義即個(gè)數最多的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的子向量組。但是嚴格的數學(xué)定義必不可少。這個(gè)地方提到一個(gè)問(wèn)題：有同學(xué)對于比較抽象的概念比較頭疼，試圖拋開(kāi)嚴格的數學(xué)表述，而通過(guò)舉例子等方式理解，這樣可以嗎?不行。舉例子確實(shí)有助于理解，但代替不了嚴格的數學(xué)表述。其實(shí)，定義理解好了，方法就是自然而然的了�？忌�可以思考相關(guān)問(wèn)題：如極大無(wú)關(guān)組是否唯一?如果不唯一，那它們是什么關(guān)系?

　　還可以繼續思考矩陣的秩和向量組的秩的關(guān)系。任給一個(gè)矩陣A，矩陣可以按列分塊，也可以按行分塊，這樣我們可以得到三個(gè)秩——矩陣的秩，矩陣的列向量組的秩和矩陣的行向量組的秩。這三個(gè)秩是什么關(guān)系?結論是相等。這個(gè)結論不需要證明，會(huì )用即可。

　　16. 總是感覺(jué)概率理解不透徹，不好把握。

　　從考試的角度，大家看看歷年真題就發(fā)現比較明顯的規律：概率的題型相對固定，哪考大題哪考小題非常清楚。概率�？即箢}的地方是：隨機變量函數的分布，多維分布(邊緣分布和條件分布)，矩估計和極大似然估計。其它知識點(diǎn)考小題，如隨機事件與概率，數字特征等。

　　從學(xué)科的角度，概率的知識結構與線(xiàn)性代數不同，不是網(wǎng)狀知識結構，而是躺倒的樹(shù)形結構。第一章隨機事件與概率是基礎知識，在此基礎上可以討論隨機變量，這就是第二章的內容。隨機變量之于概率正如矩陣之于線(xiàn)性代數�？忌�也可以看看考研真題，數一、數三概率考五道題，這五題的第一句話(huà)為“設隨機變量X……”，“設總體X……”，“設X1，X2，…，Xn為來(lái)自X的簡(jiǎn)單隨機樣本”，無(wú)論“隨機變量”、“總體”和“樣本”本質(zhì)上都是隨機變量。所以隨機變量的理解至關(guān)重要。討論完隨機變量之后，討論其描述方式。分布即為描述隨機變量的方式。分布包括三種：分布函數、分布律和概率密度。其中分布函數是通用的描述工具，適用于所有隨機變量，分布律只針對離散型隨機變量而概率密度只針對連續型隨機變量。之后討論常見(jiàn)的離散型和連續性隨機變量，考研范圍內需要考生掌握七種常見(jiàn)分布。

　　介紹完一維隨機變量之后，推廣一下就得到了多維隨機變量。多維分布總體上分成三種：聯(lián)合分布，邊緣分布和條件分布。其中每種分布又細分為分布函數、分布律和概率密度。只不過(guò)條件分布函數我們不考慮。該章�？即箢}，�？茧S機變量函數的分布和邊緣分布、條件分布。之后討論隨機變量的獨立性。

　　分布包含著(zhù)隨機變量的全部信息，如果只關(guān)心部分信息就要考慮數字特征了。數字特征考小題。把公式性質(zhì)記清楚，多練習即可。

　　大數定律和中心極限定理是偏理論的內容，考試要求不高。

　　數理統計是對概率論的應用。其中考大題的地方是參數估計(矩估計和極大似然估計)，考小題的點(diǎn)是常用統計量及其數字特征，三大統計分布，正態(tài)總體條件下統計量的特殊性質(zhì)。

　　17. 經(jīng)�？粗�(zhù)會(huì )，但一動(dòng)手就會(huì )發(fā)現問(wèn)題：要么是哪卡住了，要么是做得慢。什么原因，怎么解決?

　　這是考生普遍性的問(wèn)題�？粗�(zhù)會(huì )說(shuō)明考生對基本考點(diǎn)、基本方法有一定認識;但一動(dòng)手就發(fā)現問(wèn)題多多，說(shuō)明要么考生理解不到位(考試要求考生對考點(diǎn)理解到一定深度);做得慢，說(shuō)明不熟練。

　　那么如何解決呢?我覺(jué)得可以在兩方面下功夫：理解和熟練。如果理解不透徹，不到位，可以通過(guò)聽(tīng)課、看書(shū)、做題解決;如果已經(jīng)理解了，但不熟練，那只有多練，多做題了。

　　18. 數一、數二、數三，高數都是大頭，高數命題有什么規律嗎?

　　根據對2014年的真題分析，發(fā)現高數命題有如下規律：

　　1) 側重對數一、數三獨有知識的考查。數一有什么獨有知識?大的模塊有空間解析幾何、多元積分(三重積分、曲線(xiàn)積分和曲面積分);數三獨有的知識包括經(jīng)濟應用和級數(相對數二而言)。比如2014年真題中數一考了切平面方程，斯托克斯公式還有曲面積分;數三考了邊際收益和冪級數求和展開(kāi)。

　　2) 考查考生綜合運用所學(xué)知識分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。說(shuō)白了就是應用題。比方上面提到的數三的經(jīng)濟應用，數二考到了形心質(zhì)心。前者是導數的經(jīng)濟應用，后者是定積分的幾何應用。

　　3) 考點(diǎn)覆蓋較全。這提示考生不要有僥幸心理，不要忽略次要考點(diǎn)，要做全面復習。這與把握重點(diǎn)是不矛盾的。這里可以把考研政治中的馬克思主義哲學(xué)基本原理用過(guò)來(lái)：全面復習和把握重點(diǎn)的辯證統一。

　　19. 為什么做題這么重要?多看不也行嗎?

　　我經(jīng)常問(wèn)同學(xué)兩個(gè)問(wèn)題，你也可以試著(zhù)回答一下這兩個(gè)問(wèn)題。

　　1) 考研數學(xué)是跟高考數學(xué)比較像，還是跟奧數比較像?多數同學(xué)都認為跟高考數學(xué)像。我也認可這種回答。因為都是標準化測試，考查的也是通性通法。

　　2) 大家都是從高考過(guò)來(lái)的，有沒(méi)有見(jiàn)過(guò)這兩種同學(xué)：基本不做題，光聽(tīng)光看，結果高考數學(xué)考得非常好;不聽(tīng)課，但自己埋頭做題，結果高考數學(xué)考得非常理想?多數同學(xué)認為沒(méi)見(jiàn)過(guò)第一種同學(xué)，有第二種同學(xué)。我也是這么認為的。道理也不難：考試的形式如果是這樣，監考老師坐在那，問(wèn)：“同學(xué)，請你說(shuō)說(shuō)中值定理相關(guān)證明這類(lèi)題的思路”，那么做題確實(shí)有點(diǎn)多余，我們的備考改成“坐而論道”就可以了�？墒乾F實(shí)是考試的形式是筆試，是“雙規”——在規定時(shí)間內，在規定的地點(diǎn)用筆答題。所以不做題，做題少 就不行了。

　　如果用一句話(huà)總結一下聽(tīng)課與做題的關(guān)系，我覺(jué)得是：做題是取得好成績(jì)必要條件，而聽(tīng)課是非必要條件。那聽(tīng)課的作用是什么?是幫助考生理解，節省考生自己總結方法的時(shí)間。

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